非负整数是什么意思,非负整数概念!

“对任意给定的大于1的自然数n,必然存在非负整数k<n,使得自然数n+k与n-k同为素数!”

这个命题其实就是哥德巴赫猜想,虽然一般并不采取如此的表述方式。

哥德巴赫猜想认为“任意一个大于2的偶数,都能表示成两个素数之和。”

如果2n是任意给定的大于2的偶数,并且总存在非负整数k使得n+k与n-k同为素数,于是必有2n=(n+k)+(n-k)。从而哥德巴赫猜想成立。

显然,如果n+k是素数,那么n+k必不能为不大于√(n+k)的素数整除;如果n-k是素数且n-k≠1,除非n-k是不大于√(n-k)的素数,否则n-k不能为不大于√(n-k)的素数整除。

我们可以断言:

如果n+k与n-k不能为所有不大于√2n的素数整除,并且n-k≠1,那么n+k与n-k必同为素数。

设p(x)是一个不大于√2n的素数,再设非负整数d(x)<p(x)并且有n≡d(x) (mod p(x)),也即p(x)除n的余数为d(x)。

当k≡p(x)-d(x) (mod p(x))时,必有n+k为p(x)整除,也即n+k≡0 (mod p(x)); 当k≡d(x) (mod p(x))时,必有n-k为p(x)整除,也即n-k≡0 (mod p(x))。

于是:

如果k≡p(x)-d(x) (mod p(x))以及k≡d(x) (mod p(x))均不成立时,则n+k与n-k都不能为任意不大于√2n的素数整除;进一步,如果n-k≠1,则n+k与n-k必同为素数且n-k>p(x)。

不妨设p(m)是自然数中的第m个素数,并且p(m)是不大于√2n的最大素数。

因此,如果在0~n-2中,存在一个非负整数k,使得k≡p(x)-d(x) (mod p(x))以及k≡d(x) (mod p(x))对于任意p(x)≤p(m)均不成立,则必有n+k与n-k同为素数。

在0~n-1这n个数中任取一个数k,数k使得k≡p(x)-d(x) (mod p(x))与k≡d(x) (mod p(x))均不成立的概率是多少呢?不妨记这个概率为P。

我们不难知道:

当p(x)=2时,这n个数中有约1/2满足条件; 当p(x)=3时,这n个数中至少有约1/3满足条件; 当p(x)=5时,这n个数中至少有约3/5满足条件; 当p(x)=7时,这n个数中至少有约5/7满足条件; 当p(x)=11时,这n个数中至少有约9/11满足条件; ………… 当p(x)=p(m) (m>1)时,这n个数中至少有约(p(m)-2)/p(m)满足条件。

于是必有:

P>1/2·1/3·3/5·……·(p(m)-2)/p(m)

=1/2·∏(p(i)-2)/p(i) (i取2至m)

从而必有:

nP>n·[1/2·1/3·3/5·……·(p(m)-2)/p(m)]

>n·1/2·1/p(m)

>n/2·1/√2n

=√2n/4

如果n≥32,必有nP>2,也即在0~n-1这n个数中必有2个以上的自然数k,使得n+k与n-k不能为任意不大于√2n的素数所整除;也即至少有1个以上的自然数k,使得n+k与n-k同为素数。

而1<n<32时,命题的成立显然。

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