香农采样定理（香农定理通俗解释）通信M班长2018-12-16 17:33:42
【通信技术基础第8讲】
佛曰：一花一世界，一叶一菩提。
一花一世界，一叶一菩提。
我们所看所听的世界是连续的，亮暗、高低、大小、快慢......都是连续变化，这些变化如果画到坐标轴里，百思特网就会变成连续的信号，课本上称为模拟信号。而我们的电子设备处理的却是0-1信号。本文所说的抽样定理便是联系模拟与数字信号之间的桥梁。
图片来源：网络；声音数字化过程与还原过程
上图所示，一位同学的歌声，通过麦克风记录下来，此时为连续的模拟信号。然后通过声卡转换为数字信号，便可以存储，计算。如果需要收听这段声音，那么再通过声卡与音响还原。
所以我们不禁要问，如何将模拟信号数字化呢，数字化之后还能够无失真的还原它？
下图告诉我们，一个模拟信号m(t)需要经过抽样、量化、编码三个步骤才能变成数字信号，然后在信道内传输。其中的抽样是**步，也是至关重要的一步。
图片来源：网络；模拟信号数字化
如果让小朋友来解决这个问题，他们也会想到，对于一个连续的曲线，我在其中抽出百思特网一定的点来，这些点不就变成了离散的信号了吗？然后我们再量化编码变成数字信号。没错，我们本文要说的就是，怎么抽样，按照什么样的频率进行？
图片来源：网络；对模拟信号“筛选”
冲激抽样之前我们学习过冲激函数，我们用冲激函数去乘以函数f(t)，会得到冲激处的函数值，我们当时称之为“筛选”特性，没错，这百思特网个就是抽样。
假设函数为f(t)，抽样函数为p(t)为周期冲激函数，现在用p(t)对f(t)进行抽样，得出的抽样结果为fs(t)。这三个函数的频域表达式分别为F(w)，P(w)，Fs(w)。
信号f(t)的傅里叶变换为F(w)，最大频率为Wm。抽样函数p(t)的傅里叶系数为Pn，傅里叶变换为P(w)，那么fs(t)=f(t)*p(t)，其傅里叶变换为Fs(w)。在这种情况下抽样信号fs(t)是由一系列冲激函数构成，每个冲激的间隔为Ts而强度等于连续信号的抽样值f(nTs)，如上图所示。
周期信号的傅里叶变换
我们用周期冲激信号去抽样原始的信号？那么周期间隔Ts如何确定？如果间隔太大，看起来会丢失太多的信息；如果间隔太小，是不是信息又有点冗余了？
抽样频率选择稀疏点？还是密集些呢？
时域抽样定理一个频率受限的信号f(t)，如果频谱只占据-Wm~Wm的范围，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一的的表示。而抽样间隔必须不大于1/2fm，Wm=2**fm，或者说，最低抽样频率为2fm。也即Ws≥2Wm。
通常我们这个最低的抽样频率叫做fs=2fm，“奈奎斯特频率”，把最大允许的抽样间隔Ts=/Wm=1/2fm称为“奈奎斯特间隔”。
图片来源：Wiki；不同的抽样频率fs造成的波形腾挪
所以，这就是有名的香农采样定理，又称奈奎斯特采样定律。为什么又冒出一个香浓呢？
采样定理1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。
抽样定理
抽样频率的选择，在时域上很难做出判断，虽然我们常识上觉的应该越密集越好。但是我们换个角度，看看频域呢？如果我们得到了一个完整的F(w)，那么根据傅里叶反变换，可以得到完整的f(t)。OK，这样信号被我们还原出来了。
由于抽样后的信号fs(t)的频率是按照抽样频率fs进行两边腾移，如果这个fs小于2倍的fm，必然会造成腾移的过程中，波形相互影响，这样频域的波形失真了。我们用失真的波形再去还原f(t)，必然与实际不符。（图中用角频率w表示）
从频域上看，抽样定理是显而易见的，就是防止波形叠加失真。
压缩感知班长在上学的时候呢，压缩感知的研究内容非常火*。其实就是信号满足一定条件时候，我们不需要用2倍的频率去抽样。即当信号是稀疏或可压缩的，我们可以某个线性投影的方式来得到信号的压缩后表示condensed representation，得到的数据能够以无失真或较低失真地方式重建原始的数字信号。
图片来源：网络；压缩感知
学习压缩感知，需要一定的线性代数基础，班长会在后续的文章中详细阐述，这里不再赘述。
图片来源：网络；图像处理领域中面临的困扰
总结提出个疑问：我们的耳朵可以识别的声音频率为20Hz到20kHz。而且这个范围随年龄越大越窄。但我们的数字音频的采样率达到了44.1k、48k和96kHz。
图片来源：网络；左侧为示波器中显示的连续声音信号，右侧按照44kHz采样
明明20kHz*2=40kHz就够了吗？为什么还要多那么多呢？
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