正函数与反函数的关系，比如sin30°=0.5，则在一定范围内，比如（-90°，90°）arcsin0.5=30°；
arcsinx一般转换成什么？sin(arcsinx)=x。
sinx在第二象限意味着π／2≤x≤π。
而按照定义，arcsinx的范围是－π／2≤arcsinx≤π／2。
所以这里x和arcsinx是不能直接对应的。
sinx表示一个数字，其中的X是一个角度。arcsinx表示一个角度，其中的X是一个数字，arcsinx=π／2-arccosx（－1≦x≦1）。arcsin0=0，arcsin1=90°。arcsinX表示的角度就是指，正弦值为X的那个角。
arcsinx是sinx的反函数，如果sinx=y，那么arcsiny=x因为sin是周期函数，为了使得函数有唯一值，arcsinx的取值范围是（－90，90]度之间。arcsin0=0，arcsin1=90度。
把sinX当一个数字看，把arcsinX当一个角度看，这样理解比较容易记。关于的sinX和arcsinX的关系问题，就是函数和反函数的问题。如：sinX=Y，那么arcsinY=X(记住，这两个式子中，x都表示一个角度，Y都表示一个数字，这个数字的范围是－1到＋1)。
所以，arcsin0就表示一个角度，这个角度的正弦值是0，即2kT(k取整数），arcsin1就表示＂正弦值为1的那个角度＂，即2kT+1/2T。而arcsin2不存在，因为任何角度的正弦值都不可能取到2。
函数y=sinxarcsinx的值域是求详解！arcsinx等于什么？与sinx的关系？arcsinx是sinx的反函数。反正弦函数为正弦函数y=sinx（x∈[-?π,?π]）的反函数，记作y=arcsinx或siny=x（x∈[-1,1]）。由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称可知正弦函数的图像和反正弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。反函数一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x)。反函数y=f^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。反函数的基本性质（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
所以说arcsinx和sinx是无法等价转换的？当x趋于0时，它们是等阶无穷小，可以等阶替换的，因为arcsinx的导数是1/根号(1-x^2)，当x趋于0时，它趋于1，而sinx的导数是cosx,当x趋于0时也趋于1，所以用一次洛必达法则就可以知道它们的比值的极限等于1。因此可以等阶替换，但等阶无穷小替换只能用在因式里，如果是加减法，自然就不行了。因为一个弧度值只能对应它的一个正弦值，而一个正弦值对应的弧度值其实有无穷多个(这些弧度值的数目与整数集中的元素数目具有相同的数量级)。所以，在反正弦函数的定义中，你会发现反正弦函数的值域[-π/2,π/2]只是正弦函数定义域(-∞,+∞)的一个子集。因为在平面直角坐标系xOy中只有定义域在x∈[-π/2,π/2]的函数y=sin x的函数曲线和定义域在x∈[-1,1]的函数y=arcsin x的函数曲线是关于直线y=x对称的。
所以，我猜测题主所说的等价转换有可能指的是互为反函数的两个函数的自变量和因变量可以互换。
从这个意义上讲，sin x 与arcsin x的等价转换是有限制条件的。即:在sin x的定义域被约束在[-π/2,π/2]的前提下，arcsin x与sin x可以互换自变量与因变量的顺序。令 arctanx=t，则tant=x=sint/cost=sint/√(1-sin²t) = √(1-cos²t)/cost
sint=x/√(1+x²)，cost=±1/(1+x²)arctanx=t=arcsin[x/√(1+x²)]arctanx=t=±arccos[1/√(1+x²)]
综上分析：
tanx与sinx和cosx可以转换---tanx=sinx/cosx，
但是arctanx与arcsinx和arccosx不能直接转换。同求
arcsinx 和sinx怎么进行公式转换sinx在第二象限意味着π/2≤x≤π
而按照定义，arcsinx的范围是 -π/2≤arcsinx≤π/2
所以这里x和arcsinx是不能直接对应的
就是说，要对sin（）求反函数必须把（）里的项的范围变换到[-π/2，π/2]
做变换 y=sinx=sin（π-x）
则0≤π-x≤π/2
故π-x=arcsiny
x=π-arcsiny
故反函数为arcsinx
为了使单值的反三角函数所确定区间具有代表性，常遵循如下条件：
1、为了保证函数与自变量之间的单值对应，确定的区间必须具有单调性；
2、函数在这个区间最好是连续的（这里之所以说最好，是因为反正割和反余割函数是间断的）；
3、为了使研究方便，常要求所选择的区间包含0到π/2的角；
4、所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。这样确定的反三角函数就是单值的，为了与上面多值的反三角函数相区别，在记法上常将Arc中的A改记为a，例如单值的反正弦函数记为arcsin x。sinx在第二象限意味着π/2≤x≤π
而按照定义，arcsinx的范围是 -π/2≤arcsinx≤π/2
所以这里x和arcsinx是不能直接对应的
就是说，要对sin（）求反函数必须把（）里的项的范围变换到[-π/2，π/2]
做变换 y=sinx=sin（π-x）
则0≤π-x≤π/2
故π-x=arcsiny
x=π-arcsiny
故反函数为arcsinx
函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。sinx在第二象限意味着π/2≤是不能直接对应的 就是说,要对sin（）求反函数必须把（）里的项的范围变换到[-π/2,π/2] 做变换 y=sinx=sin（π-x） 则0≤π-x≤π/2 故π-x=arcsiny x=π-arcsiny 故反函数为arcsinx
sinx在第二象限意味着π/2≤x≤π
而按照定义,arcsinx的范围是 -π/2≤arcsinx≤π/2
所以这里x和arcsinx是不能直接对应的
就是说,要对sin（）求反函数必须把（）里的项的范围变换到[-π/2,π/2]
做变换 y=sinx=sin（π-x）
则0≤π-x≤π/2
故π-x=arcsiny
x=π-arcsiny
故反函数为arcsinx当x→0时，x～sinx~tanx~arcsinx~arctanx。
从你发的图片中，x→0时推出2x→0把2x看成整体即arcsin2x~2x(2x→0)sinx在第二象限意味着π/2≤x≤π
而按照定义,arcsinx的范围是 -π/2≤arcsinx≤π/2
所以这里x和arcsinx是不能直接对应的
就是说,要对sin（）求反函数必须把（）里的项的范围变换到[-π/2,π/2]
做变换 y=sinx=sin（π-x）
则0≤π-x≤π/2
故π-x=arcsiny
x=π-arcsiny
故反函数为arcsinx