对于具有实（或复）元素的n×n个方阵N，以下是等价的：
（1）N是幂零矩阵。
（2）对于一些正整数k≤n，N的最小多项式为x的k次方。
（3）N的特征多项式为x的n次方。
（4）N的唯一特征值为0。
（5）对于所有k>0，tr（N的k次方）＝0。
幂零矩阵简介：
**性代数中，对于n阶方阵N，存在正整数k，使得N^k=0，这样的方阵N就叫做幂零矩阵。满足条件的最小的正整数k被称为N的度数或指数。更一般来说，零权变换是向量空间的线性变换L，使得对于一些正整数k（并且因此，对于所有j≥k，Lj=0），L^k=0。
幂零矩阵是幂零元──一个更加一般的概念的特殊情况，不仅可以应用于矩阵和线性变换，也可以应用于环的元素。
以上内容参考
百度百科－幂零矩阵
如何证明严格上三角矩阵是幂零矩阵？麻烦尽量详细一些。定义D为k级严格上三角阵，也就是满足D={d(i,j)|当i+k>j时，d(i,j)=0},那么普通的严格上三角阵就是1级严格上三角阵
设A是k级严格上三角阵，B是普通上三角阵
A={a(i,j)},当i+k>=j时a(i,j)=0
B={b(i,j)},当i>=j时b(i,j)=0
AB={c(i,j)},c(i,j)=sum(a(i,m)b(m,j),m=1,2,...n)
=sum(a(i,m)b(m,j),m=i+k+1,i+k+2,..,n),因为当i+k>=m时a(i,m)=0
=sum(a(i,k)b(k,j),k=i+1,i+2,...,j-1)当k>=j时b(k,j)=0
所以当i+1+k 0，tr（N^k）= 0。
最后一个定理适用于特征值为0或特征值足够大的矩阵。 （参考牛顿的证实）
这个定理有几个结论，包括：
（1）n×n幂零矩阵的度数总是小于或等于n。
（2）幂零矩阵不是可逆矩阵的。
（3）唯一幂零且可对角化的矩阵是零矩阵。
（4）若M为实对称矩阵，则M=0。
（5）非零的幂零矩阵A不能对角化。
（6）若A为n阶幂零矩阵，则A^T，A*均为幂零阵。
参考资料：百度百科-幂零矩阵如果n是矩阵a的阶数，那么0是a的n重特征值，k和重数没有什么关系